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タイル並べとフィボナッチ数列の関係

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タイル並べとフィボナッチ数列の関係

画像:パラドックスの定番として、こんな話がありますよね。
直角三角形をいくつかに分割して並べ替えると……あれ !? 同じ直角三角形のハズなのに! 面積1のピースが余っちゃうっ!
これはパズル好きな方々はすでに知っている話だろうし、これのカラクリについては特に話すことはないでしょう。でも、この話、実は一般化できるということは知ってますか?

画像:拡大図
★ パラドックスのタネ明かし ★
知らない方々のために解説を。
右図の図形は2つとも同形同大に見えますが、実は違います。
斜辺にあたる線は直線にしか見えないけれど、微妙に折れ曲がっているんですね。 タイル並べとフィボナッチ数列の関係
見た目にはわからないほど微妙です。

これ、「フィボナッチ数列」と呼ばれるものです。
まるで、デタラメに数字が並んでいるみたいだけれど、実はちゃんとした法則があるんですね。
隣りあう3つの数を拾ってみると、その3つの数は足し算の関係になっているんです。
たとえば、3,5,8 の場合は 3+5=8 だし、34,55,89 の場合は 34+55=89 になる。
まぁ、もともとフィボナッチ数列というのは、2個の 1 から始めてそういう“足し算”の関係を満たす
ように新しい数字を次々つけ足してできた数列なんですね。
でも、実はもうひとつ、隠れた法則があるんです。
同じように隣りあう3つの数を拾います。その3つに関しては、足し算の法則以外に次のことも成り
立つんです。
なんと、両端の数の積と真ん中の数の2乗との差が 1 である、というわけですね。
実際にやってみましょう。
たとえば、3,5,8 の場合は 3×8-5^2=24-25=-1 ですね。
そして、34,55,89 の場合は 34×89-55^2=3026-3025=1 となる。
どの隣接3数をとるかによって引き算結果は変わるんだけれど、どっちにしても差は必ず 1 になるわ
けです(普通、「差」といえば大きい数から小さい数を引いた値のことを指しますもんね)。
実を言うと、この法則はすでに証明されていて、「カッシーニ - シムソンの定理」と呼ばれるそうで
す。(画像)

画像:つの数 a, b, c, d(a<b<c<d)を拾って図のような図形をつくったとき、図形内の長方形と正方形の面積は常に 1 だけ違うんです。これは、「ac と b^2 の差は 1 である」という理由によります。

【 注 意 】
フィボナッチ数列では隣りあう3数は足し算の関係にある、ということを思い出しましょう。
a+b=c と b+c=d が成り立っています。
ただ、注意しなければいけないのは、ac-b^2=1 だけでなく ac-b^2=-1 が成り立つ場合もあると
いうこと。つまり、隣りあう4数 a, b, c, d の選びかたによっては長方形の面積の方が大きい場合も
あるし、逆に正方形の面積の方が大きい場合もあるんです。
ということは、1.や3.で書いたような「あれ? 面積1のピースが余っちゃった!」という話だ
けでなく、「あれ? 面積1のピースが足りないぞ !?」なんていう話もつくることができるわけです
ね。ちなみに、1.での話は a=5, b=8, c=13, d=21 の場合・・・

画像:フィボナッチ数列の中の隣りあう3つの数 b, c, d(b<c<d)を拾って、一辺を c とする正方形とタテ b ×ヨコ d サイズの長方形をつくる。これで、同じようなパラドックス話を展開することができる。一般的には、フィボナッチ数列の中の隣りあう4つの数 タイル並べとフィボナッチ数列の関係 タイル並べとフィボナッチ数列の関係 a, b, c, d(a<b<c<d)を拾って図のような正方形と長方形をつくったとき、この2つの面積は常に 1 だけ違うんです。なぜなら、b, c, d はフィボナッチ数列において隣りあう3数だから。「両端の数の積と真ん中の数の2乗との差が 1 である」と書いたけれど、これを適用すれば bd と c^2 の差は 1 になるということが言えるわけですね。
もちろん、同様に、4数 a, b, c, タイル並べとフィボナッチ数列の関係 d の選び方によっては bd-c^2=1 だけでなく bd-c^2=-1 が成り立つ場合もあります。だから、「あれ、面積1減った!」という話のほかに「あれ、面積1増えた !?」なんていう話もできたりするわけです。

図を見ると、少し濃いめの直角三角形が2つあって斜辺がほとんど同じ傾きになってますよね。
これにも、ちょっとした秘密がありまして。
斜辺の傾き具合というのは、直角を挟む2辺の縦横比によって決まります。
そして、その縦横比が同じであれば、傾きが同じになるんですね。
んで、その濃いめの直角三角形の縦横の長さを見てみると、どれもフィボナッチ数列の中の隣りあう数になっている。実際、1.では、小さい方が 5 と 8、大きい方が 8 と 13 になってますよね。
そして、3.では、小さい方が 13 と 21、大きい方が 21 と 34 になっている。
チョットこれら4つの縦横比をそれぞれ計算してみましょう。

8÷5 = 1.6
13÷8 = 1.625
21÷13 = 1.615384……
34÷21 = 1.619047……

おおぉ! ずいぶんまた、似たような値が並びましたね。
縦横比がどれも 1:1.61 くらい。
ついでに、フィボナッチ数列の隣りあう2数でいろいろ割り算をしてみましょう。

55÷34 = 1.617647……
89÷55 = 1.618181……
144÷89 = 1.617977……
233÷144 = 1.618055……
377÷233 = 1.618025……
(以下略)

なんと! 先の4つよりもさらに値が似ているっ!
縦横比が 1:1.618 くらいですね。
もしかしたら、1.618 という数字を見て「ピーン!」ときた方々もいるかもしれません。
そうなんです。この 1:1.618 という比、「黄金比」というものに似ているんです。
この黄金比、フィボナッチ数列との間には関係がひとつありまして。
実は、こんなことが成り立つんです。
(画像)
図において2つとも合同にしか見えない理由は、濃いめの直角三角形の斜辺の傾きを表す縦横比が2つとも酷似しているということなんですね。
ちなみに、「カッシーニ - シムソンの定理」と同様に、この黄金比に関する性質もすでに証明されています。
(画像) 」

おもしろかった~~~単なる目の錯覚を使ったパズルにしかすぎないんだと思ってたわたし. ^^;
だって. 5/13≠8/(13+8)=8/21 だものって.タイル並べとフィボナッチ数列の関係

フィボナッチ数列とは? 問題に隠れた規則性に気づけるようにしよう

中学入試では、並べられた数字から規則性を見つけ出す問題がよく出題されます。数列で有名なものといえば、等差数列、等比数列、階差数列などですが、ひときわ目立つ名前の数列があります。それがフィボナッチ数列です。名前からして異彩を放っていますが、その性質も神秘に満ちたもので、魅了されてしまった科学者も多くいるほどです。今回は中学受験に向けてフィボナッチ数列にどう対処すべきかを、例題を交えながら解説します。

フィボナッチ数列とは?

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144……

まずは規則性を理解する

差を計算すると、フィボナッチ数列らしき数字が出てきました。フィボナッチ数列は、直前の2つの項の数を足したものが次の項の数になる数列です。そのためこのような結果になるんですね。規則自体はとてもシンプルです。一度でもフィボナッチ数列を見たことがあれば、規則性はすぐに理解できるでしょう。

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「場合の数の問題」にフィボナッチ数列が現れる

【例題1】 階段の登り方は何通り?

4段目までの登り方は、「2段目まで登ってから4段目に到達する2通り」と「3段目まで登ってから4段目に到達する3通り」があるので、合計5通りです。つまり、4段目までの登り方の「場合の数(5通り)」は、2段目までの登り方の「場合の数(2通り)」と、3段目までの登り方の「場合の数(3通り)」の合計になるのです。まさにフィボナッチ数列のような関係になっています。

6段目までの登り方であれば、図を描いて場合分けをしていけば力わざで解けてしまう場合もあります。しかし、15段目までの登り方を答えさせる問題があったらどうでしょうか? 答えは、なんと987通り! フィボナッチ数列であることに気づいていないと、とうてい解くことはできませんね。

【例題2】 タイルの並べ方は何通り?

このとき、「縦2cm×横4cm」の並べ方の「5通り」は、「縦2cm×横2cm」に並べた場合の「2通り」と、「縦2cm×横3cm」に並べた場合の「3通り」を合計したものと同じです。またしても、フィボナッチ数列が見えてきました。

漸化式(フィボナッチ数列)を線形代数(線形空間、固有ベクトル)で解く方法を解説

(\(W:= \mathbb^2\)とし、\(\varphi : V\to W\)を\(\\mapsto (a_0,a_1)\)によって定めると、\(\varphi\)は全単射な線形写像、すなわち同型写像です。このとき、\(T_A: W\to W\)を\(Tx=Ax\)により定めると、\(T_A \circ タイル並べとフィボナッチ数列の関係 \varphi = \varphi \circ T\)が成立しています。つまり、\(V\)と\(W\)を同一視、すなわち数列の最初の2項のみに注目することで、数列のシフト\(T\)は行列\(A\)と同一視できるわけです。)

このとき、\(\\>=T(タイル並べとフィボナッチ数列の関係 \)= \lambda \\)なので、任意の\(n\)に対して\(b_= \lambda b_n\)が成立しています。これを繰り返し用いれば、\(b_n = \lambda ^n タイル並べとフィボナッチ数列の関係 b_1\)なので、固有ベクトルとなる数列の一般項が\(n\)によって表すことができるわけです。

\(T\)の固有ベクトルは、等比数列です。\(T\)の固有ベクトルを基底として\(W\)の元を表すことは、漸化式を満たす数列を等比数列の線形結合として表すことに対応しています。等比数列を定める漸化式は簡単に解けるので、そういう形に帰着させたいですね。

では、\(T\)の固有値・固有ベクトル、すなわち表現行列\(A\)の固有値・固有ベクトルを求めましょう。\(Ax = \lambda x\)を満たすような\(\lambda\)は、固有方程式、または特性方程式

によって求まるのでした。計算してみると、\(タイル並べとフィボナッチ数列の関係 \mathrm (A-\lambda E) = \lambda ^2 -\lambda -1\)なので、固有方程式を解けば

です。これに対応する\(T\)の固有ベクトル、\(b_n =(\frac<1\pm \sqrt<5>> )^n b_1\)を満たしています。

まとめ・一般化

漸化式\(a_+b_1 a_+\cdots + b_n a_r =0\)によって定まる数列\(\\)タイル並べとフィボナッチ数列の関係 を、最初の\(n\)項によって表したいという問題を考えます。

\[ \begin\lambda ^n + b_1 \lambda^+\cdots + b_ \lambda +b_n =0\end \]

\[ \begina_n = c_1\lambda_1 ^n + c_ タイル並べとフィボナッチ数列の関係 2 \lambda_2 ^n +\cdots + c_n \lambda_n^n\end \]

\(P^ A P =\begin \lambda_1 & 0 & \cdots&0 \\ 0 &\lambda_2& \ddots&\vdots \\ \vdots&\ddots &\ddots& 0 \\ 0& \cdots& 0 & \lambda_n タイル並べとフィボナッチ数列の関係 \end \)

と対角行列になるのでした(これを行列\(A\)の対角化という)。対角行列は、その\(n\)乗を簡単に計算できる(対角成分を\(n\)乗した行列になる)性質があります。したがって\(A^n\)タイル並べとフィボナッチ数列の関係 が計算できるので、一般項が求められたわけです。

フィボナッチ数列の場合は重複する解を持ちませんでしたが、重複する解を持つ場合でも、工夫すれば一般解を求められます。対角化はできなくとも、\(A^n\)を計算しやすいような形にできれば良いわけです(対角化はできなくても、ブロック対角化はできる)。そのためには、広義固有空間、ジョルダン標準形の考え方が必要です。

また、今回漸化式で議論したことは、線形常微分方程式でも同じように扱えます。

解空間は\(n\)次元、シフト写像\(T\)は微分作用素\(x(t)\mapsto \frac (t)\)、等比数列に対応するのは指数関数\(e^<\lambda t>\)です。特性方程式を使った線形常微分方程式の一般解の求め方は、常微分方程式論の教科書や講義でも扱われます。

これまでの議論は、方程式が線形であるから有効なのでした。調べたい現象を表す漸化式・微分方程式が線形でない、すなわち非線形なときは、今回の議論は通用しません。非線形方程式を解くのは難しいですが、まずは線形方程式を解く方法を知っておくのが、大事な一歩でしょう。

タイル並べとフィボナッチ数列の関係 2

R. S.講師の記事

(1)の2通りでした。

㋐ 、㋑

2cm+2cm

3cm+1cm
㋓ 、㋔
というように分類できました。

ところが、このように分類すると、㋑、㋒、㋓がすべて同じ並べ方になっていることに気付きます。全部 に置くのは、どのような足し算で考えてもすべて同じになってしまうからです。以上から3通りが答えとなります。

<あ>
4cmを作る方法は(2)で3通りとわかっています。

これに1㎝を加えると、
、 、 の3通りができます。

<い>
3㎝は(1)の答えですので、2通りです。
これに、2㎝を加える方法は


の2通りがあるのですが、これはどちらもすでに<あ>の中に出てきています。

2㎝を足すのは、 ×2の並べ方しかないので、+1㎝のどの並べ方とも同じになってしまうのです。つまり、<い>はかんがえる必要はないということになります。

<う>
2㎝をつくる方法は、1通りあり、これに3㎝を足すので、
、 の2通りですが、さきほどとお同じで、×3として付け足すのは、すでに出てきていますので、これは1通りだけです。

以上より、<あ>が3通り、<い>は考えない、<う>は1通りなので、
合計4通り が答えです。

(4)さきほどの問題を、前問との繋がりで処理できれば、これは簡単です。書き出すのは、非常に大変でしょう。
ということで、分類は前問と同じく、
<あ>5㎝+1㎝のパターン
(3)の5通りの答えに+1㎝ →4通り

フィボナッチ数列|使い方やメリット・デメリット、使用例を解説

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フィボナッチ数列のメリット

メリット1.ルールがシンプル

メリット2.安定的に稼げる

メリット3.賭け金が緩やかに増える

メリット4.数列を自由に設定できる

フィボナッチ数列のデメリット

デメリット1.稼ぎにくい

デメリット2.負けが続いた場合、1度の勝利で損失額をすべて取り戻せるわけではない

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フィボナッチ数列の使用例

シミュレーション1.5勝5敗の場合

ゲーム回数賭け金勝敗配当損益
1回目1ドル×0ドル-1ドル
2回目1ドル×0ドル-2ドル
3回目2ドル×0ドル-4ドル
4回目3ドル6ドル-1ドル
5回目1ドル2ドル+1ドル
6回目1ドル2ドル+2ドル
7回目1ドル×0ドル+1ドル
8回目1ドル2ドル+2ドル
9回目1ドル×0ドル+1ドル
10回目1ドル2ドル+3ドル

シミュレーション2.1勝9敗の場合

ゲーム回数賭け金勝敗配当損益
1回目1ドル×0ドル-1ドル
2回目1ドル×0ドル-2ドル
3回目2ドル×0ドル-4ドル
4回目3ドル×0ドル-7ドル
5回目5ドル×0ドル-12ドル
6回目8ドル×0ドル-20ドル
7回目13ドル×0ドル-33ドル
8回目21ドル×0ドル-54ドル
9回目34ドル×0ドル-88ドル
10回目55ドル110ドル-32ドル

フィボナッチ数列 まとめ

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